Question

在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n-1

，證明：

1

2

≤b_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，所以b_n+1-b_n=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，由此利用單調(diào)性和放縮法能證明

1

2

≤b_n＜1．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得

a1+2d+a1+9d=15 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)

，
d≠0，解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
b_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
∵b_n+1-b_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴b_n+1＞b_n．∴bn≥b1 =

1

2

．
∵b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

≤

1

n+1

+

1

n+1

+…+

1

n+1

=

n

n+1

＜1，
∴

1

2

≤b_n＜1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．