Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-2x-4的定義域和值域相同，且都是非空連續(xù)區(qū)間M，求所有區(qū)間M．

Answer 1

分析 因為定義域和值域都是[a，b]，說明函數(shù)最大值和最小值分別是a和b，所以根據對稱軸進行分類討論即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-2x-4的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
當x=1時，函數(shù)取最小值-5，
設函數(shù)f（x）=x²-2x-4的定義域和值域均為[a，b]，
若b≤1，則函數(shù)f（x）在[a，b]為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=b\\ f（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-2a-4=b\\^{2}-2b-4=a\end{array}\right.$，
兩式相減得：（a+b-1）（a-b）=0，
又∵a≠b，∴a+b=1，
解得：a=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，b=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$不滿足條件，
若a≤1≤b，則函數(shù)f（x）在（a，1]為減函數(shù)，在（1，b）上為增函數(shù)，
則f（1）=-5=a，
若f（a）=b，則b=f（-5）=31，f（b）＞f（a）不滿足要求；
若f（b）=b，則b=-1（不滿足要求），或b=4；
若a≥1，則函數(shù)f（x）在[a，b]為增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=a\\ f（b）=b\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-2a-4=a\\^{2}-2b-4=b\end{array}\right.$，
即a，b為方程x²-2x-4=x的兩根，
解得：a=-1，b=4不滿足條件，
綜上所述，滿足條件的區(qū)間有：[-5，4]

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調區(qū)間以及最值問題，屬于中檔題．