Question

20．設(shè)f（x）=${C}_{20}^{10-x}$，g（x）=${P}_{20}^{x}$，集合A={x||x|≤10，x∈Z}，B={x|1≤x≤20，x∈N^*}．
（1）若f（x）的定義域?yàn)锳，判斷f（x）的奇偶性
（2）解方程f（6-x）=f（2x-15）
（3）若g（x）的定義域?yàn)锽，求證：當(dāng)1≤x≤19時(shí)，g（x）是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由組合數(shù)公式可得f（x）=C${\;}_{20}^{10-x}$=$\frac{20！}{（10-x）!×（10+x）!}$，進(jìn)而可得f（-x），分析f（x）與f（-x）的關(guān)系即可得答案；
（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)，即可解方程；
（3）利用作商法，即可證明．

解答 （1）解：∵f（x）=C${\;}_{20}^{10-x}$=$\frac{20！}{（10-x）!×（10+x）!}$，
則f（-x）=$\frac{20！}{（10+x）!（10-x）!}$，
∴f（-x）=f（x），且f（x）的定義域A關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）解：∵f（6-x）=f（2x-15）
∴${C}_{20}^{4+x}$=${C}_{20}^{25-2x}$，
∴4+x=25-2x，
∴x=3；
（3）證明：∵1≤x≤20，x∈N^*．
∴$\frac{g（x+1）}{g（x）}$=$\frac{{P}_{20}^{x+1}}{{P}_{20}^{x}}$=$\frac{（20-x）！}{（19-x）!}$=20-x，
當(dāng)1≤x≤19時(shí)，20-x≥1
∵g（x）＞0，
∴g（x+1）＞g（x），
∴g（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷以及組合數(shù)公式，關(guān)鍵是根據(jù)組合數(shù)公式求出f（x）的解析式．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．