Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a∈R）
（1）若不等式f（x）＞a-3的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x＞y＞0，且xy=2，若不等式f（x）+f（y）+2ay≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞a-3可化為ax²-ax-a+3＞0，當(dāng)a=0時(shí)，不等式即3＞0，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)判別式△＜0，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論；
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即為a≤$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＞a-3可化為x²-ax-a+3＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，不等式即3＞0，滿足不等式f（x）＞0的解集為全體實(shí)數(shù)R，
當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)判別式△＜0，求得-6＜a＜2且a≠0．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-6，2）．
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即為a≤$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$，
∵xy=2，∴$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$=$\frac{{（x-y）}^{2}+2xy}{x-y}$=（x-y）+$\frac{4}{x-y}$≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-y=$\frac{4}{x-y}$，即x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1時(shí)，$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$取最小值4，
∴a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．