Question

已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

6

）+a（ω＞0）圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．
（Ⅰ）求a和ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件確定函數(shù)最值和周期，利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求a和ω的值；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=4cosωx•sin(ωx+

π

6

)+a=4cosωx•(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)+a=2

3

sinωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a=

3

sin2ωx+cos2ωx+1+a=2sin(2ωx+

π

6

)+1+a．
當(dāng)sin(2ωx+

π

6

)=1時(shí)，f（x）取得最大值2+1+a=3+a
又f（x）最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∴3+a=2，即a=-1．
又f（x）圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，
∴f（x）的最小正周期為T=π
故2ω=

2π

T

=2，ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=2sin(2x+

π

6

)
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z．
得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
令k=0，得：

π

6

≤x≤

2π

3

．
故函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

6

，

2π

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的圖象以及三角函數(shù)的輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．