Question

若定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則下列結論：
①f（x）的圖象過點（1，0）；
②f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個周期；
④f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①由奇函數(shù)f（0）=0可判斷，②由奇函數(shù)的性質(zhì)和對稱性的結論可判斷；③由f（1+x）=-f（x）和周期性的定義可求出函數(shù)的周期；④根據(jù)函數(shù)的對稱軸可作出判斷

解答： 解：∵定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，∴f（x）的圖象過點（1，0），故①正確；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，故②正確；
用x+1替換f（1+x）=-f（x）中的x可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，且2是它的一個周期，故③正確；
∵f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調(diào)函數(shù)，故④不正確；
故答案為；①②③．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性的定義是解決問題的關鍵，屬基礎題．