Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：當(dāng)x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，可得：當(dāng)0＜x＜

π

2

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)

π

2

＜x＜π時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．又當(dāng)x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，可得出函數(shù)y=f（x）的圖象．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，同理可得函數(shù)f（x）在[-π，0]上的圖象．由于定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在[π，3π]上的圖象，再畫出函數(shù)y=cosx在[0，3π]上的圖象：可知函數(shù)y=f（x）-cosx在[0，3π]有且僅有3個交點，并且交點不在y軸．由函數(shù)f（x）與函數(shù)y=cosx都是偶函數(shù)，同理可得在[-3π，0）上有且僅有3個零點．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，
∴當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)

π

2

＜x＜π時，f′（x）＜0，此時函數(shù)
f（x）單調(diào)遞減．
又當(dāng)x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，可得出函數(shù)y=f（x）的圖象．
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，同理可得函數(shù)f（x）在
[-π，0]上的圖象．
∵定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，
∴可得函數(shù)f（x）在[π，3π]上的圖象，
再畫出函數(shù)y=cosx在[0，3π]上的圖象：可知函數(shù)y=f（x）-cosx在[0，3π]有且僅有3個交點，并且交點不在y軸．
由函數(shù)f（x）與函數(shù)y=cosx都是偶函數(shù)，同理可得在[-3π，0）上有且僅有3個零點．
綜上可知：函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為6．
故選：C．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性與周期性，考查了函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，考查了推理能力，屬于難題．