Question

【題目】已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示圖形為圓．
（1）若已知曲線關(guān)于直線x+y﹣4=0的對(duì)稱圓與直線6x+8y﹣59=0相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若k=15，求過該曲線與直線x﹣2y+5=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+k（k＞﹣5），

可知圓心為（2，1），設(shè)它關(guān)于y=﹣x+4的對(duì)稱點(diǎn)為（x1，y1），

則 ，解得 ，

∴點(diǎn)（3，2）到直線6x+8y﹣59=0的距離為 ，

即

∴ ，∴

（2）解：當(dāng)k=15時(shí)，圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=20

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0）．

∵已知圓的圓心（2，1）到直線x﹣2y+5=0的距離為 ，

則 ，∴ ， ，

∴所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2=15

【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)系，求出對(duì)稱圓心的坐標(biāo)，再由對(duì)稱圓與6x+8y﹣59=0相切，即圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑r，即可求出k；（2）先設(shè)圓心A坐標(biāo)并把k代入已知方程配方后求A的坐標(biāo)，由A在x﹣2y+5=0上時(shí)此圓的面積最小，兩個(gè)圓心的連線與直線垂直，利用斜率之積等于﹣1和A在直線上列出方程組求圓心的坐標(biāo)，再利用弦心距、半徑和弦的一半關(guān)系求出半徑．