Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

有如下性質(zhì)，如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)，上是增函數(shù)．寫出f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區(qū)間，并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，得到f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區(qū)間：（0，2]，然后，根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區(qū)間：（0，2]，證明如下：
任x₁，x₂∈（0，2]設(shè)，且x₁＜x₂，則，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=x₁-x₂+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

，在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性定義證明等知識(shí)，屬于中檔題．