如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別是BC和CC1的中點(diǎn),已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°.
(1)求證:B1D⊥平面AED;
(2)求二面角B1-AE-D的余弦值;
(3)求三棱錐A-B1DE的體積.
考點(diǎn):用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:向量法:
(1)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用向量法能證明B1D⊥平面AED.
(2)分別求出平面AED的法向量和平面 B1AE的法向量,利用向量法能求出二面角B1-AE-D的余弦值.
(3)利用向量法求出AD⊥DE,由B1D為三棱錐B1-ADE的高,能求出三棱錐A-B1DE的體積.
幾何法:
(1)由已知條件推導(dǎo)出AA1⊥平面ABC,AD⊥平面B1BCC1.從而得到B1D⊥AD,再由勾股定理求出B1D⊥DE,由此能證明B1D⊥平面AED.
(2)過D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B1M.由已知條件推導(dǎo)出∠B1MD為二面角B1-AE-D的平面角,由此能求出二面角B1-AE-D的余弦值.
(3)由(1)得AD為三棱錐A-B1DE的高,且AD=2
2
,由此能求出三棱錐A-B1DE的體積.
解答: (本小題滿分13分)
向量法:
(1)證明:依題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
∵AB=AC=AA1=4,∴A(0,0,0),B(4,0,0),
E(0,4,2),D(2,2,0),B1(4,0,4).(1分)
B1D
=(-2,2,-4)
,
AD
=(2,2,0)
,
AE
=(0,4,2)
.(2分)
B1D
AD
=-4+4+0=0
,∴
B1D
AD
,即B1D⊥AD.(3分)
B1D
AE
=0+8-8=0
,∴
B1D
AE
,即B1D⊥AE.(4分)
又AD、AE?平面AED,且AD∩AE=A,
∴B1D⊥平面AED.(5分)
(2)解:由(1)知
B1D
=(-2,2,-4)
為平面AED的一個(gè)法向量.(6分)
設(shè)平面 B1AE的法向量為
n
=(x,y,z)
,
AE
=(0,4,2)
AB1
=(4,0,4)

∴由
n
AE
=0
n
AB1
=0
,得
4y+2z=0
4x+4z=0

令y=1,得x=2,z=-2.即
n
=(2,1,-2)
.(7分)
cos<
n
,
B1D
>=
n
B1D
|
n
|•|
B1D
|
=
6
9
×
24
=
6
6
,(8分)
∴二面角B1-AE-D的余弦值為
6
6
.(9分)
(3)解:∵
AD
=(2,2,0)
,
DE
=(-2,2,2)
,
AD
DE
=0
,∴AD⊥DE.(10分)
|
AD
|=2
2
,|
DE
|=2
3
,得S△ADE=
1
2
×2
2
×2
3
=2
6
.(11分)
由(1)得B1D為三棱錐B1-ADE的高,且|
B1D
|=2
6
,(12分)
VA-B1DE=VB1-ADE=
1
3
×2
6
×2
6
=8
.(13分)
幾何法:
(1)證明:依題意得,AA1⊥平面ABC,
B1C1=BC=
AB2+AC2
=4
2
,AD=BD=CD=2
2

BB1=CC1=4,EC=EC1=2.
∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC,AD?平面ABC,∴AD⊥B1B.
BC、B1B?平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,
∴AD⊥平面B1BCC1
又B1D?平面B1BCC1,∴B1D⊥AD.(2分)
B1E2=B1
C
2
1
+E
C
2
1
=36
,B1D2=B1B2+BD2=24
DE2=DC2+EC2=12,
B1E2=B1D2+DE2,∴B1D⊥DE.(4分)
又AD、DE?平面AED,且AD∩DE=E,
∴B1D⊥平面AED.(5分)
(2)解:過D做DM⊥AE于點(diǎn)M,連接B1M.
由B1D⊥平面AED,AE?平面AED,得AE⊥B1D.
又B1D、DM?平面B1DM,且B1D∩DM=D,∴AE⊥平面B1DM.
∵B1M?平面B1DM,∴B1M⊥AE.
∴∠B1MD為二面角B1-AE-D的平面角.(7分)
由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,又DE?平面B1BCC1,∴AD⊥DE.
在Rt△AED中,DM=
AD•DE
AE
=
2
30
5
,(8分)
在Rt△B1DM中,B1M=
B1D2+DM2
=
12
5
5
,
cos∠B1MD=
DM
B1M
=
6
6

∴二面角B1-AE-D的余弦值為
6
6
.(9分)
(3)解:由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,
所以AD為三棱錐A-B1DE的高,且AD=2
2
.(10分)
由(1)得SB1DE=
1
2
B1D•DE=
1
2
×2
6
×2
3
=6
2
.(11分)
VA-B1DE=
1
3
SB1DE•AD=
1
3
×6
2
×2
2
=8
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查三棱錐體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的合理運(yùn)用.
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已知直線l的參數(shù)方程:
x=1+tcosθ
y=tsinθ
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x=
2
cosα
y=sinα
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π
4
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x2
a2
+
y2
b2
=1類似的性質(zhì)為:經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
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