Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+S_n-1=0，其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，又b_n+5log₂（1-S_n）=t，t∈N^*，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．                                                       
（1）若{c_n}是遞減數(shù)列，求t的最小值；                                                 
（2）在（1）的條件下，當(dāng)t取最小值時，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；                       
（3）是否存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2這三項(xiàng)按某種順序排列后成等比數(shù)列？若存在，求出k，t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，求出a₁，將n換成n-1，相減得2a_n=a_n-1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)，求出a_n，S_n，從而求出b_n，c_n，再由遞減數(shù)列的定義，得到t的最小值；
（2）運(yùn)用錯位相減法，可求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n； 
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2這三項(xiàng)按某種順序排列后成等比數(shù)列，分三種情況，由等比數(shù)列的性質(zhì)，通過化簡整理，通過判別式即可判斷．

解答： 解：（1）∵a_n+S_n-1=0①，∴n=1，a₁+S₁-1=0，a₁=

1

2

，
∴a_n-1+S_n-1-1=0②
①-②得，a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

，∴1-S_n=（

1

2

）ⁿ
∴b_n=t-5•log₂ (

1

2

)n=t+5n
∴c_n=（

1

2

）ⁿ•（5n+t）
∵{c_n}是遞減數(shù)列，
∴c_n＜c_n-1即（

1

2

）ⁿ•（5n+t）＜（

1

2

）^n-1•（5n-5+t）（n≥2）
即5n+t＜2（5n-5+t）即5n+t＞10，
當(dāng)n=2時 t＞0，
即t的最小值為1；
（2）t=1時，c_n=（

1

2

）ⁿ•（5n+1）
則T_n=6（

1

2

）¹+11（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ•（5n+1）

1

2

T_n=6（

1

2

）²+11（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ•（5n-4）+（

1

2

）ⁿ⁺¹•（5n+1）
∴相減得，

1

2

T_n=6（

1

2

）¹+5（

1

2

）²+5（

1

2

）³+…+5（

1

2

）ⁿ-（

1

2

）ⁿ⁺¹•（5n+1）
=

1

2

+5[

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

]-（

1

2

）ⁿ⁺¹•（5n+1），
=5+

1

2

-

5

2n

-（

1

2

）ⁿ⁺¹•（5n+1）
=

11

2

-

5

2n

-（

1

2

）ⁿ⁺¹•（5n+1）
∴T_n=11-

5

2n-1

-

1

2n

•（5n+1）=11-

5n+11

2n

；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2這三項(xiàng)按某種順序排列后成等比數(shù)列，
則c²_k+1=c_k•c_k+2或c_k²=c_k+1•c_k+2或c²_k+2=c_k•c_k+1
即（

1

2

）^2k+2•（5k+5+t）²=（

1

2

）^2k+2•（5k+t）•（5k+10+t）
（5k+t）²+25+10（5k+t）=（5k+t）²+10（5k+t）不成立；
或（

1

2

）^2k•（5k+t）²=（

1

2

）^2k+3•（5k+5+t）•（5k+10+t）
（5k+t）²=

1

8

[（5k+t）²+15（5k+t）+50]
7（5k+t）²-15（5k+t）-50=0
△=15²+4×7×50不是完全平方數(shù)，不成立；
或（

1

2

）^2k+4•（5k+10+t）²=（

1

2

）^2k+1•（5k+t）•（5k+5+t）

1

8

[（5k+t）²+100+20（5k+t）]=（5k+t）²+5（5k+t）
7（5k+t）²+20（5k+t）-100=0
△=400+2800不是完全平方數(shù)，不成立；
∴不存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2這三項(xiàng)按某種順序排列后成等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查存在性問題，是一道綜合題．