Question

已知各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)的數(shù)列{a_n}，a₁=0，前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=

x2+ 9 4

-

1

2

的圖象上．
（1）證明：對(duì)一切n∈N^*，a_n＜a_n+1＜2；
（2）證明：S_n＜2n+6．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，a₁＜a₂＜2成立，假設(shè)n=k時(shí)，a_k＜a_k+1＜2成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，注意運(yùn)用假設(shè)，先證ak+2＜2，再證ak+2-ak-1＞0即可；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，S₁＜2×1+6成立；假設(shè)n=k時(shí)，S_k＜2k+6成立；當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+
a_k+1，運(yùn)用假設(shè)和條件和a_k＜2，即可得證．

解答： 證明：（1）∵（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=

x2+ 9 4

-

1

2

的圖象上，
∴a_n+1=

an2+ 9 4

-

1

2

，
∵a₁=0，∴a₂=

3

2

-

1

2

=1，
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁＜a₂＜2成立，
假設(shè)n=k時(shí)，a_k＜a_k+1＜2成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+2=

ak+12+ 9 4

-

1

2

＜

4+ 9 4

-

1

2

=2，
又a_k+2-a_k+1=

ak+12+ 9 4

-

1

2

-a_k+1=

ak+12+ 9 4

-

ak+12+ak+1+ 1 4

＞0，
即a_k+1＜a_k+2＜2成立，
故對(duì)一切n∈N^*，a_n＜a_n+1＜2；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=0，2×1+6=8，即S₁＜2×1+6成立；
假設(shè)n=k時(shí)，S_k＜2k+6成立；
當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1＜2k+6+a_k+1=2k+6+

ak2+ 9 4

-

1

2

＜2k+6+

22+ 9 4

-

1

2

=2（k+1）+6，
即n=k+1時(shí)，有S_k+1＜2（k+1）+6．
故對(duì)一切n為正整數(shù)，都有S_n＜2n+6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，注意解題步驟，特別是要運(yùn)用假設(shè)，這是解題的關(guān)鍵．