【題目】在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB的中點(diǎn),CD=2,AB=4,AD=BC=.沿EF將梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如圖.

(1)若G為FB的中點(diǎn),求證:AG⊥平面BCEF;

(2)求二面角C-AB-F的正切值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)在空間幾何體中可證得AG⊥FB,同時(shí)可得EF⊥平面ABF,進(jìn)而得AG⊥EF,于是可得AG⊥平面BCEF.(2)根據(jù)二面角平面角的定義并結(jié)合三垂線法作出二面角的平面角,再通過(guò)解三角形得到所求的正切值

(1)因?yàn)锳F=BF,∠AFB=60°,

所以△AFB為等邊三角形.

又G為FB的中點(diǎn),

所以AG⊥FB.

在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB的中點(diǎn),

所以EF⊥AB.

于是EF⊥AF,EF⊥BF,

,

所以EF⊥平面ABF,

因?yàn)?/span>平面ABF,

所以AG⊥EF.

,

所以AG⊥平面BCEF.

(2)如圖,連接CG,

因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中,CD=2,AB=4,E、F分別是CD、AB中點(diǎn),G為FB的中點(diǎn),

所以EC=FG=BG=1,

從而CG∥EF.

因?yàn)镋F⊥平面ABF,

所以CG⊥平面ABF.

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H,連結(jié)CH,

由三垂線定理可得CH⊥AB,

所以∠CHG為二面角C-AB-F的平面角.

在Rt△BHG中,BG=1,∠GBH=60°,

所以GH=.

在Rt△CGB中,CG⊥BG,BG=1,BC=,

所以CG=1.

在Rt△CGH中,可得tan∠CHG,

所以二面角C-AB-F的正切值為.

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