【題目】已知點A(﹣2,0),B(0,1)在橢圓C: (a>b>0)上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)P是線段AB上的點,直線y= x+m(m≥0)交橢圓C于M、N兩點,若△MNP是斜邊長為 的直角三角形,求直線MN的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓C: (a>b>0)焦點在x軸上,由點A(﹣2,0),B(0,1),
則a=2,b=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: ;
(Ⅱ)設(shè)M(x1 , y1),N(x2 , y2),
,消去y,整理得 x2+mx﹣1=0,
則△=2﹣m2>0,x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣2,
則丨MN丨= 丨x1﹣x2丨= ,
① 當(dāng)MN為斜邊時, = ,解得:m=0,
滿足△>0,
此時直線MN為直徑的圓方程為x2+y2= ,
點A(﹣2,0)B(0,1)分別在圓外和圓內(nèi),即在線段AB上存在點P.
此時直線MN的方程誒y= x,滿足題意,
②當(dāng)MN為直角邊時,兩平行線AB與MN的距離d= 丨m﹣1丨,
∴d2+丨MN丨2= 丨m﹣1丨2+(10﹣5m2)=10,
即21m2+8m﹣4=0,
解得:m= ,m=﹣ (舍),
由△>0,則m=
過點A作直線MN:y= x+ 的垂線,可得滿足坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ ),垂足在橢圓外,
即在線段AB上存在點P,
∴直線MN的方程為y= x+ ,符合題意,
綜上可知:直線MN的方程為:y= x或y= x+
【解析】(Ⅰ)由直線可知:橢圓的焦點在x軸上,又過點A,B,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨MN丨,分類,當(dāng)MN為斜邊時, = ,即可求得m=0,滿足題意,當(dāng)MN為直角邊時,兩平行線AB與MN的距離d= 丨m﹣1丨,利用勾股定理即可求得m的值,求得直線方程.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知值域為[﹣1,+∞)的二次函數(shù)滿足f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x),且方程f(x)=0的兩個實根x1 , x2滿足|x1﹣x2|=2.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx在區(qū)間[﹣1,2]內(nèi)的最大值為f(2),最小值為f(﹣1),求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在等腰梯形ABCD中,E、F分別是CD、AB的中點,CD=2,AB=4,AD=BC=.沿EF將梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如圖.

(1)若G為FB的中點,求證:AG⊥平面BCEF;

(2)求二面角C-AB-F的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知兩點,直線AM,BM相交于點M,且這兩條直線的斜率之積為.

(1)求點M的軌跡方程;

(2)記點M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1,過點P的斜率不為零且互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線CQ,R(異于點P),求直線QR的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,棱AB的中點為P,若光線從點P出發(fā),依次經(jīng)三個側(cè)面BCC1B1 , DCC1D1 , ADD1A1反射后,落到側(cè)面ABB1A1(不包括邊界),則入射光線PQ與側(cè)面BCC1B1所成角的正切值的范圍是(
A.(
B.( ,4)
C.( ,
D.(

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓心在軸非負(fù)半軸上,半徑為2的圓C與直線相切.

(1)求圓C的方程;

(2)設(shè)不過原點O的直線l與圓O:x2+y2=4相交于不同的兩點A,B.①求△OAB的面積的最大值;②在圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l的方程為mx+ny=1,且此時△OAB的面積恰好取到①中的最大值?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)直線l:y=2x﹣1與雙曲線)相交于A、B兩個不

同的點,且(O為原點).

(1)判斷是否為定值,并說明理由;

(2)當(dāng)雙曲線離心率時,求雙曲線實軸長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線與橢圓交于兩點,點位于第一象限,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.

(i)若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;

(ii)當(dāng)點運動時,滿足,問直線的斜率是否為定值,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)三角形的三邊長分別為3,4,5,P是三角形內(nèi)的一點,則點P到這個三角形三邊的距離的積的最大值是________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案