Question

（本題滿分12分）定義在上的函數(shù)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)時(shí), .

（1）求在上的解析式；

（2）用單調(diào)性定義證明在上時(shí)減函數(shù)；

（3）當(dāng)取何值時(shí), 不等式在上有解.

Answer 1

（1）；（2）證明略；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明；（3）先求出的值域，，再利用不等式在R上有解的的取值范圍就是小于在R上的最大值.

解題思路:要記住一個(gè)結(jié)論：若奇函數(shù)在處有意義，則.

試題解析：（1）當(dāng)x∈（ 1, 0）時(shí), x∈（0, 1）. ∴. .2分

又是奇函數(shù), .∴. ∵,

∴

∴在（ 1, 1）上的解析式為

4分

（2）證明略； .7分

（3）不等式在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f（x）在R上的最大值.

又f（x）是最小正周期為2的函數(shù), ∴對(duì)任意的x有f（x+2）= f（x）.∴f（ 1）= f（ 1+2）= f（1）. 另一面f（ 1）= f（1）, ∴ f（1）= f（1） . ∴f（1） = f（ 1）=0.∴f（x）在上的解析式為

8分

當(dāng)x∈（ 1, 0）時(shí)，有 < f（x）= < ； 9分

又f（x）是奇函數(shù),當(dāng)x∈（0, 1）時(shí)，f（x）在（0, 1）上也是減函數(shù),

∴< f（x）＝<.. ∴f（x）在[ 1, 1]上的值域是（ , ）∪｛0｝∪（, ）.

由f（x）的周期是2；故f（x）在R上的值域是（ , ）∪｛0｝∪（, ） .11分

λ＜時(shí)，不等式f（x）＞λ在R上有解.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)的值域.