Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點為F₁、F₂，離心率為

2

2

，通徑長（過焦點且垂直于長軸的直線與橢圓相交線段的長）為2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓相交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，△OMN面積為2

2

，試問x₁²+x₂²能否為定值？如果為定值，求出該值；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：本題（Ⅰ）利用橢圓的離心率和通徑的長，求出橢圓的參數(shù)a，b，c的值，得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)出直線l的斜率k得到直線l的方程，利用三角形面積為定值得到兩點M、N的坐標(biāo)關(guān)系，再用韋達定理求出x₁²+x₂²的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意

c

a

=

2

2

，知a=

2

c，b=c，
∴橢圓的方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
當(dāng)x=c時，y=±

2

2

c，
∴通徑長2×

2

2

c=

2

c=2

2

，
得c=2，
∴a=2

2

，b=2，
故橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，M、N兩點關(guān)于x軸對稱，則x₁=x₂，
由點M（x₁，y₁）在橢圓上，則

x 2 1

8

+

y 2 1

4

=1，
而S△OMN=|x1y1|=2

2

，
∴|x₁|=2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=8；   
當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y=kx+m，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，可得：x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
∴x₁、x₂是方程的兩根，則：△=16m²k²-4（1+2k²）•（2m²-8）=8（4+8k²-m²）＞0
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-8

1+2k2

，
|MN|=

1+k2

•

8(4+8k2-m2)

1+2k2

=2

2

•

1+k2

•

4+8k2-m2

1+2k2

，
d=

|m|

1+k2

，
S△OMN=

1

2

•|MN|•d=

1

2

×2

2

•

1+k2

•

4+8k2-m2

1+2k2

×

|m|

1+k2

=2

2

則2（1+2k²）=m²，滿足△＞0

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1•x2=

16m2k2

(1+2k2)2

-

2(2m2-8)

1+2k2

=

32k2

1+2k2

-

2(2m2-8)

1+2k2

=

32k2+16-4m2

1+2k2

=8，
綜上可知

x

2 1

+

x

2 2

=8．

點評：本題考查了函數(shù)方程思想，將題中的幾何條件代數(shù)化．本題計算思維難度適中，計算量較大，屬于中檔題．