【題目】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F2，且|F1F2|＝，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7.

（1）求這兩曲線的方程；

（2）若P為這兩曲線的一個交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值.

【答案】（1）和；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓長、短半軸長分別為，雙曲線半實、虛軸長分別為，列出，解出參數(shù)的值，即可得出橢圓與雙曲線的方程；（2）不妨設(shè)分別為左、右焦點(diǎn)， 是第一象限的一個交點(diǎn)，則， ，再利用余弦定理得出，求值即可.

試題解析：（1）由題意知，半焦距，設(shè)橢圓長半軸為，則雙曲線實半軸，離心率之比為，∴，∴橢圓的短半軸等于，雙曲線虛半軸的長為，∴橢圓和雙曲線的方程分別為： 和.
（2）由橢圓的定義得： ，由雙曲線的定義得： ，∴與中，一個是10，另一個是 4，不妨令， ，又，三角形中，利用余弦定理得： ，∴

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【題目】已知動點(diǎn) P 與定點(diǎn)的距離和它到定直線 x 4 的距離的比是1: 2 ，記動點(diǎn) P 的軌跡為曲線 E．

（1）求曲線 E 的方程；

（2）設(shè) A 是曲線 E 上的一個點(diǎn)，直線 AF 交曲線 E 于另一點(diǎn) B，以 AB 為邊作一個平行四邊形，頂點(diǎn) A、B、C、D 都在軌跡 E 上，判斷平行四邊形 ABCD 能否為菱形，并說明理由；

（3）當(dāng)平行四邊形 ABCD 的面積取到最大值時，判斷它的形狀，并求出其最大值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）= （m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

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【題目】已知橢圓：的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在 上

（Ⅰ）求 的方程；

（Ⅱ）直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明：的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

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【題目】計算下列各式的值：
（1） ﹣（ ）0+（ ）﹣0.5+ ；
（2）lg500+lg ﹣ lg64+50（lg2+lg5）2 ．

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：當(dāng)時,在(1)的條件下, 成立．

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【題目】定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個上界．已知函數(shù)f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ， 若函數(shù)f（x）在[﹣2，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】如圖，在三棱柱中， ，頂點(diǎn)在底面 上的射影恰為點(diǎn) ，且.

（1）求棱 與所成的角的大��；

（2）在棱 上確定一點(diǎn)，使，并求出二面角的平面角的余弦值.

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【題目】某港口船舶�？康姆桨甘窍鹊较韧＃�

（1）若甲乙兩艘船同時到達(dá)港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2,3，4,5中各隨機(jī)選一個數(shù)，若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則甲先�？浚蝗魞蓴�(shù)之和為奇數(shù)，則乙先�？�，這種規(guī)則是否公平？請說明理由．

（2）根據(jù)以往經(jīng)驗，甲船將于早上到達(dá)，乙船將于早上到達(dá)，請應(yīng)用隨機(jī)模擬的方法求甲船先停靠的概率，隨機(jī)數(shù)模擬實驗數(shù)據(jù)參考如下：記， 都是之間的均勻隨機(jī)數(shù)，用計算機(jī)做了100次試驗，得到的結(jié)果有12次滿足，有6次滿足．

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