Question

【題目】已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A（）,且點F（，0）為其右焦點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線與橢圓C交于B,D兩點,滿足,且原點到直線l的距離為？若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)不存在符合條件的直線.

【解析】

(1)求出左焦點的坐標,求出到左焦點距離,再求出到右焦點的距離,最后利用橢圓的定義求出橢圓方程；

(2)假設(shè)存在這樣的直線,設(shè)出直線的方程, 原點到直線l的距離為,可得到等式,該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)根的判別式,可以計算出直線l的斜率的取值范圍,把向量式子

用數(shù)量積的坐標表示公式化簡,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求出該直線的斜率,檢驗該值在不在斜率的取值范圍中,最后再考慮直線不存在斜率的情況,這樣就可以得出正確結(jié)論.

(1)設(shè)橢圓C的方程為，則左焦點為，

在直角三角形中，可求，∴，

故橢圓C的方程為．

(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為，由原點到l的距離為得：

．

聯(lián)立方程，得．

則，，．

設(shè)，，

則，

解得．

當(dāng)斜率不存在時l的方程為，易求得.

綜上，不存在符合條件的直線.