Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（x＞0，a∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)求導(dǎo)，得出切點(diǎn)坐標(biāo)，找到函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，從而求出a的取值范圍；
（2）原不等式x₁•x₂＞e²進(jìn)一步整理得到ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，只要能證出上述不等式恒成立，

解答 解：（1）令f（x）=0，
∴l(xiāng)nx=$\frac{1}{a}$x，
畫(huà)出函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=$\frac{1}{a}$x的圖象，如圖示：
，
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)是（a，lna），
把（a，lna）代入h（x）=$\frac{1}{a}$x，得：a=e，
∴若y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
即g（x），h（x）有2個(gè)交點(diǎn)，只需a＞e即可；
∴a的范圍是（e，+∞）：
（2）∵lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等價(jià)于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＞$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$?ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
令 $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，則0＜t＜1，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（0＜t＜1），
∴g′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）是遞增，
∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應(yīng)用，連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的思想方法，屬中檔題．