Question

16．已知A、B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點，C（0，b），直線l：x=2a與x軸交于點D，與直線AC交于點P，且BP平分角∠DBC，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），求得P（2a，3b），再由兩直線的夾角公式，運用直線的斜率公式，結合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），
直線AC的方程為bx-ay+ab=0，
由x=2a，可得y=3b，即P（2a，3b），
則直線PB的斜率為k₁=$\frac{3b}{a}$，
直線BC的斜率為k₂=-$\frac{a}$，
由BP平分角∠DBC，可得$\frac{3b}{a}$=$\frac{-\frac{a}-\frac{3b}{a}}{1-\frac{3^{2}}{{a}^{2}}}$，
化簡可得7a²=9b²，
由b²=a²-c²，可得2a²=9c²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．