Question

19．已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足g（3）=8，定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函數(shù)．
（1）確定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對任意x∈[-5，-1]都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（3）=8，利用待定系數(shù)法即可求出指數(shù)函數(shù)g（x）=2^x，從而得到f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，而根據(jù)f（x）在R上為奇函數(shù)，便有f（-1）=-f（1），這樣即可求出m=2，從而得出$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
（2）容易判斷f（x）為減函數(shù)，根據(jù)減函數(shù)的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)定義在[-5，-1]上的f（x）為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，從而可以得到f（1-x）＞f（2x-1），進一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{-5≤1-x≤-1}\\{-5≤1-2x≤-1}\\{1-x＜2x-1}\end{array}\right.$，從而解該不等式組便可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）設g（x）=a^x，則g（3）=a³=8；
∴a=2；
∴g（x）=2^x；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$；
f（x）為R上的奇函數(shù)；
∴f（-1）=-f（1）；
即$\frac{1-\frac{1}{2}}{m+1}=-\frac{1-2}{m+4}$；
∴m=2；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{2+{2•2}^{x}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
（2）x增大時，2^x增大，∴f（x）減小；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減，證明如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又$1+{2}^{{x}_{1}}＞0，1+{2}^{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)前面知，f（x）在R上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)；
∴由f（1-x）+f（1-2x）＞0得，f（1-x）＞f（2x-1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5≤1-x≤-1}\\{-5≤1-2x≤-1}\\{1-x＜2x-1}\end{array}\right.$；
∴2≤x≤3；
∴x的取值范圍為[2，3]．

點評 考查指數(shù)函數(shù)的一般形式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，奇函數(shù)的定義，分離常數(shù)法的運用，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式．