Question

8．已知圓C：x²+y²=4和點Q（4，0）．
（1）若P為圓C上一動點，求線段PQ中點的軌跡方程；
（2）若過點Q的直線l與圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PQ中點M（x，y），則P（2x-4，2y），代入圓的方程即得線段PQ中點的軌跡方程．
（2）以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，可得O到直線AB的距離為$\sqrt{2}$，設(shè)出直線方程，利用點到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)PQ中點M（x，y），則P（2x-4，2y），代入圓的方程得（x-2）²+y²=1．
（2）∵以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
∴O到直線AB的距離為$\sqrt{2}$，
設(shè)過點Q的直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴O到直線AB的距離d=$\frac{|-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x-4）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，相關(guān)點代入法主要是根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程．