Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（-4，0），是否存在過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)恰好落到由該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)短軸頂點(diǎn)所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）？若存在，求出直線l的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

c=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l為：y=k（x+4），代入

x2

8

+

y2

4

=1，得：（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，由△＞0，得k²＜

1

2

，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
離心率為

2

2

．，
∴

c=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=2

2

，b=2，c=2，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l為：y=k（x+4），
代入

x2

8

+

y2

4

=1，得：（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，
△＞0，解得k²＜

1

2

，①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1 +x2=-

16k2

1+2k2

，
設(shè)MN的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），則x0=-

8k2

1+2k2

，∴y0=

4k

1+2k2

，
∵x₀=-

8k2

1+2k2

≤0，∴點(diǎn)E不可能在y軸的右邊，
又直線F₁B₂、F₁B₁，方程分別為y=x+2，y=-（x+2），
則必有

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 -2

，即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

．
解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

，此時(shí)①也成立．
∴直線l的斜率的取值范圍是[-

3 -1

2

，

3 -1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．