Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足∠F₁MF₂=

π

3

．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3

3

）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為4

3

，求此時(shí)橢圓C的方程；
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓C上一個(gè)動點(diǎn)，試求t=

|PF1-PF2|

|OP|

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓定義，

c

a

=

|F1F2|

|MF1|+|MF2|

，設(shè)∠MF₁F₂=α，則0＜α＜

2π

3

，由正弦定理，

c

a

=

sin π 3

sinα+sin( 2π 3 -α)

=

1

2cos( π 3 -α)

，由此能求出離心率e的取值范圍是[

1

2

，1）．
（2）e=

1

2

時(shí)，a=2c，b=

3

c，設(shè)P（2ccost，

3

csint），則PN²=（2ccost）²+（

3

csint-3

3

）²=-（csint+9）²+4c²+108，由|PN|≤4

3

，得c²+6c-7=0，c＞0，由此能求出橢圓的方程．
（3）當(dāng)P由上頂點(diǎn)向右頂點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，|t|由0增大至

a-c

a

=1-e，由此能求出t的取值范圍．

解答： 解：（1）由橢圓定義，

c

a

=

|F1F2|

|MF1|+|MF2|

，
設(shè)∠MF₁F₂=α，∵∠F₁MF₂=

π

3

，∴0＜α＜

2π

3

，
由正弦定理，

c

a

=

sin π 3

sinα+sin( 2π 3 -α)

=

sin π 3

2sin π 3 cos( π 3 -α)

=

1

2cos( π 3 -α)

，
∵cos（

π

3

-α）的值域是（

1

2

，1]，
∴離心率e=

c

a

的取值范圍是[

1

2

，1）．
（2）e=

1

2

時(shí)，a=2c，b=

3

c，設(shè)P（2ccost，

3

csint），
則PN²=（2ccost）²+（

3

csint-3

3

）²
=4c²[1-（sint）²]+3c²（sint）²-18csint+27
=-c²（sint）²-18csint+4c²+27
=-（csint+9）²+4c²+108，
∵|PN|≤4

3

，∴sint=-1時(shí)PN²取最大值3c²+18c+27=48，
∴c²+6c-7=0，c＞0，
∴c=1，a=2，b=

3

，橢圓的方程是

x2

4

+y2=1．
（3）當(dāng)P由上頂點(diǎn)向右頂點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，|t|由0增大至

a-c

a

=1-e，
∵離心率e=

c

a

的取值范圍是[

1

2

，1）．
∴t的取值范圍是（-

1

2

，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求不法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運(yùn)用．