Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是減少的，且f（

1

3

）=0，則不等式f（x）＞0的解集為（　�。�

• A、（-∞，-

  1

  3

  ）
• B、（

  1

  3

  ，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  3

  ）∪（

  1

  3

  ，+∞）
• D、（-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)圖象特征，再利用函數(shù)函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的，得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，利用f（

1

3

）=0，得到函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過兩定點(diǎn)，從而得到函數(shù)圖象特征，得到函數(shù)值的正負(fù)情況，再解不等式f（x）＞0，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），函數(shù)圖象 關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（

1

3

）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

3

，0）和（-

1

3

，0）．
∴當(dāng)x＜-

1

3

時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)-

1

3

＜x≤0時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜

1

3

時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x＞

1

3

時(shí)，f（x）＞0，
∴不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜-

1

3

或x＞

1

3

}，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與圖象的關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．