Question

已知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=log₂

2n

2n-1

，T_n為b_n的前n項(xiàng)和，求證：2T_n＞log₂（2n+1），n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：由不等式（2n）²＞（2n+1）（2n-1），得(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n-1

，兩邊取對(duì)數(shù)后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)展開，然后裂項(xiàng)求和證得答案．

解答： 解：∵（2n）²＞（2n+1）（2n-1），∴(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n-1

，
兩邊取對(duì)數(shù)得2log2

2n

2n-1

＞log2

2n+1

2n-1

，
即2b_n＞log₂（2n+1）-log₂（2n-1），
∴2T_n＞（log₂3-log₂1）+（log₂5-log₂3）+…+[log₂（2n+1）-log₂（2n-1）]=log₂（2n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．