Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，若sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA．
（1）求證：A=B；
（2）若A= ，a= ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA，

∴sinAcosB﹣cosAsinB= sinAcosB﹣ sinBcosA，

利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA= cosB﹣ cosA，

化為：cosA=cosB，又A，B∈（0，π），

∴A=B．

（2）解：∵A=B，∴b=a= ．

∴c=2bcosA=2 cos ，

∴S△ABC= bcsinA= ×2 cos ×sin

=3sin =3sin =3 = ．

【解析】（1）sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA，展開利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA= cosB﹣ cosA，化簡即可證明．（2）A=B，可得b=a= ．c=2bcosA，可得S△ABC= bcsinA=3sin =3sin ，展開即可得出．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．