Question

已知m，n是正整數(shù)，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開式中x的系數(shù)為7，
（1）試求f（x）中的x²的系數(shù)的最小值
（2）對于使f（x）的x²的系數(shù)為最小的m，n，求出此時(shí)x³的系數(shù)
（3）利用上述結(jié)果，求f（0.003）的近似值（精確到0.01）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)題意求得 m+n=7，再根據(jù)f（x）中的x²的系數(shù)為

C

2 m

+

C

2 n

=

m2+n2-m-n

2

=(m-

7

2

)2+

35

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x²的系數(shù)的最小值，以及此時(shí)的m、n的值．
（2）分當(dāng) m=3、n=4時(shí)；和當(dāng) m=4、n=4=3時(shí)兩種情況，求得x³的系數(shù)．
（3）根據(jù)f（0.003）=（1+0.003）⁴+（1+0.003）³≈

C

0 4

+

C

1 4

×0.003+

C

0 3

+

C

1 3

×0.003，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）根據(jù)題意得：

C

1 m

+

C

1 n

=7，即 m+n=7①，
f（x）中的x²的系數(shù)為

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

m2+n2-m-n

2

．
將①變形為 n=7-m代入上式得：x²的系數(shù)為 m²-7m+21=(m-

7

2

)2+

35

4

，
故當(dāng)m=3，或 m=4時(shí)，x²的系數(shù)的最小值為9．
（2）當(dāng) m=3、n=4時(shí)，x³的系數(shù)為

C

3 3

+

C

3 4

=5；
當(dāng) m=4、n=4=3時(shí)，x³的系數(shù)為

C

3 4

+

C

3 3

=5．
（3）f（0.003）=（1+0.003）⁴+（1+0.003）³≈

C

0 4

+

C

1 4

×0.003+

C

0 3

+

C

1 3

×0.003=2.02．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．