Question

4．設(shè)k≥9，解方程：x³+2kx²+k²x+9k+27=0．

Answer 1

分析 由方程x³+2kx²+k²x+9k+27=0．（x≠0）．視k為主元：轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程xk²+（2x²+9）k+（x³+27）=0，解得x$（k-\frac{-（2{x}^{2}+9）+（6x-9）}{2x}）$$（k-\frac{-（2{x}^{2}+9）-（6x-9）}{2x}）$=0，化為（x+k+3）[x²+（k-3）x+9]=0，進(jìn)一步解出即可．

解答 解：由方程x³+2kx²+k²x+9k+27=0．（x≠0）．
整理為xk²+（2x²+9）k+（x³+27）=0，
解得x$（k-\frac{-（2{x}^{2}+9）+（6x-9）}{2x}）$$（k-\frac{-（2{x}^{2}+9）-（6x-9）}{2x}）$=0，
化為（x+k+3）[x²+（k-3）x+9]=0，
∴x+k+3=0，x²+（k-3）x+9=0．
由x+k+3=0，解得x=-k-3．
由x²+（k-3）x+9=0，可得△=（k-3）²-36≥0，
當(dāng)k=9時(shí)，△=0，解得x=-3．
當(dāng)k＞9時(shí)，△＞0，解得x=$\frac{（3-k）±\sqrt{{k}^{2}-6k-27}}{2}$．
∴當(dāng)k=9時(shí)，原方程的解為：x₁=-12，x₂=x₃=-3．
當(dāng)k＞9時(shí)，原方程的解為：x₁=-k-3，x_2，3=$\frac{（3-k）±\sqrt{{k}^{2}-6k-27}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元三次方程的解法、一元二次方程的解法、轉(zhuǎn)換主元的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．