Question

14．已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=（2-lnx）•lnx+b（b∈R），記h（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$
（1）若h（x₀）=$\frac{8}{3}$，求實數(shù)x₀的值
（2）若存在x₁，x₂∈[1，+∞），使得h（x₁）=g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍
（3）若g（x）＜0，對于x∈（0，+∞）恒成立，試問是否存在實數(shù)x，使得h[g（x）]=-b成立，若存在，求出實數(shù)x的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由h（x）和f（x）的解析式，解方程可得；
（2）分別求得h（x）的單調(diào)性，可得最小值，g（x）的單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由最大值大于等于最小值，可得b的范圍；
（3）由g（x）＜0，對于x∈（0，+∞）恒成立，求得b的范圍，再由h（x）的單調(diào)性，可得值域，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若h（x₀）=$\frac{8}{3}$，即為${2}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{0}}}$=$\frac{8}{3}$，
即有（${2}^{{x}_{0}}$-3）（3•${2}^{{x}_{0}}$+1）=0，
可得${2}^{{x}_{0}}$=3，解得x₀=log₂3；
（2）h（x）=2^x-2^-x，h′（x）=2^xln2+2^-xln2＞0，
h（x）在[1，+∞）遞增，h（x）_min=h（1）=$\frac{3}{2}$；
g（x）=（2-lnx）•lnx+b的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2-lnx}{x}$=$\frac{2（1-lnx）}{x}$，
當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)1≤x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=e取得極大值，也為最大值，且為g（e）=1+b，
由題意可得1+b≥$\frac{3}{2}$，
解得b≥$\frac{1}{2}$；
（3）若g（x）＜0，對于x∈（0，+∞）恒成立，
由（2）可得，1+b＜0，即有b＜-1；
假設(shè)存在實數(shù)x，使得h[g（x）]=-b成立，
即為2^g（x）-$\frac{1}{{2}^{g（x）}}$=-b恒成立．
由g（x）＜0，又f（x）遞增，即有2^g（x）-$\frac{1}{{2}^{g（x）}}$的范圍是（-∞，0），
而-b＞1，
則不存在實數(shù)x，使得h[g（x）]=-b成立．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查存在性問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．