Question

17．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的漸近線，一條準(zhǔn)線為x=$\frac{18}{5}$；
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為18．

Answer 1

分析 （1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的漸近線，設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{9λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}=1$（λ＞0），利用一條準(zhǔn)線為x=$\frac{18}{5}$，求出λ，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為18，可得c=10，a=9，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的漸近線，設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{9λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}=1$（λ＞0），
∵一條準(zhǔn)線為x=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{9λ}{5\sqrt{λ}}$=$\frac{18}{5}$，
∴λ=4，
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±10，0），
∵與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為18，
∴c=10，a=9，
∴b=$\sqrt{19}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{81}-\frac{{y}^{2}}{19}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．