Question

8．已知直線（m-2）y-（3m-1）x+1=0．
（1）求證：不論m取何值，直線恒過一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線不經(jīng)過第二象限時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不論m取何值，直線恒過一定點(diǎn)，得到m的系數(shù)和為0，由此能證明不論m取何值，直線恒過一定點(diǎn)，且能求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）把直線轉(zhuǎn)化為y=$\frac{3m-1}{m-2}x-\frac{1}{m-2}$，由直線不經(jīng)過第二象限，得到x的系數(shù)不小于0，且常數(shù)不大于0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 （1）證明：∵（m-2）y-（3m-1）x+1=0，
∴（y-3x）m+x-2y+1=0，
∵不論m取何值，直線恒過一定點(diǎn)，
∴m的系數(shù)和為0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y-3x=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴不論m取何值，直線恒過一定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{5}，\frac{3}{5}$）．
（2）解：∵直線（m-2）y-（3m-1）x+1=0，
∴當(dāng)m=2時(shí)，直線為x=-$\frac{1}{5}$，直線過二、三象限；
當(dāng)m≠2時(shí)，y=$\frac{3m-1}{m-2}x-\frac{1}{m-2}$，
∵直線不經(jīng)過第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3m-1}{m-2}≥0}\\{-\frac{1}{m-2}≤0}\end{array}\right.$，
解得m＞2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程過定點(diǎn)的證明，考查直線不過第二象限時(shí)參數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．