Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域為[-2，t]（t＞-2）．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）證明：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}$（t-1）²，并確定這樣的x₀的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出t的取值范圍；
（2）化簡$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$為x₀²-x₀=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，再令g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$=0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，再求得g（-2）=6-$\frac{2}{3}$（t-1）²=-$\frac{2}{3}（t-4）（t+2）$，g（t）=t（t-1）-$\frac{2}{3}$（t-1）²=$\frac{1}{3}（t+2）（t-1）$，從而分t＞4或-2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4討論，從而證明并解得．

解答 解：（1）因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
由f′（x）＞0解得，
x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0解得，
0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（2）證明：∵$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}={x_0}^2-{x_0}$，
又∵$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
即為x₀²-x₀=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
令g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x²-x-$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$=0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，
因為g（-2）=6-$\frac{2}{3}$（t-1）²=-$\frac{2}{3}（t-4）（t+2）$，
g（t）=t（t-1）-$\frac{2}{3}$（t-1）²=$\frac{1}{3}（t+2）（t-1）$，
①當t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
此時g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
②當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=$-\frac{4}{3}{（t-1）^2}$＜0，
此時g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
③當t=1時，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1（舍），
此時g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
④當t=4時，g（x）=x²-x-6=0，解得x=3或-2（舍），
此時g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}{（t-1）^2}$，
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想的應用，屬于難題．