4．曲線y=x3-3x過點(diǎn)（1，-2）的切線條數(shù)為（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．4條

分析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（t，-3t+t3），再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，再根據(jù)過點(diǎn)（1，-2）和切點(diǎn)的斜率等于切線的斜率，列出方程，求出斜率k，根據(jù)斜率的個(gè)數(shù)即可判斷切線的條數(shù)，從而得到答案．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)P（t，t3-3t），
由y=x3-3x，則y′=3x2-3，
即有在點(diǎn)P處切線的斜率為k=y′|x=t=3t2-3，
則有在點(diǎn)P處切線方程為y-t3+3t=（3t2-3）（x-t），
又切線過點(diǎn)（1，-2），
即有-2-t3+3t=（3t2-3）（1-t），
即為2t3-3t2+1=0，
即有（t-1）2（2t+1）=0，
解得t=1或-$\frac{1}{2}$，
即t有兩個(gè)解，即k有兩個(gè)解，
則過點(diǎn)（1，-2）與曲線相切的切線的條數(shù)是2．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處切線的方程．解題時(shí)要特別注意是“在”還是“過”，若是不能確定是否是切點(diǎn)，則設(shè)出切點(diǎn)進(jìn)行求解．此類問題是易錯(cuò)題，關(guān)鍵要注意審題．屬于基礎(chǔ)題．

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14．小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b（a＜b），其全程的平均時(shí)速為v，求證：a＜v＜$\sqrt{ab}$．

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12．已知函數(shù)f（x）=ax2-bx（a＞0）和g（x）=lnx的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{1}{e}，-1）$，求a，b的值；
（Ⅱ）已知a=b，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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19．如圖，四凌錐P-ABCD而底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PA⊥PC；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．如圖，△ABC所在的平面垂直于平面α，D為AB中點(diǎn)，|AB|=2，∠CDB=60°，P為α內(nèi)的動點(diǎn)，且P到直線CD的距離為$\sqrt{3}$，則AP+BP的值構(gòu)成的集合為{4}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知直線ax-by-2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P（1，1）處的切線互相垂直，則$\frac{a}$的值（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{2}{3}$C．$-\frac{1}{3}$D．$-\frac{2}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知a，b，c是正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的絕對值均小于$\frac{1}{3}$，求a+b+c的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）•ex定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2）．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）證明：對于任意的t＞-2，總存在x0∈（-2，t），滿足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}$（t-1）2，并確定這樣的x0的個(gè)數(shù)．

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