已知函數(shù)f（x）=x2-alnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a-2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）a=4時，f（x）的定義域為x＞0，f′(x)=2x-
4
x
，由f′(x)=2x-
4
x
=0，得x=
2
，由此能求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為-3，相應(yīng)的x的值為e．
（Ⅱ）f（x）≥（a-2）x等價于a（x+lnx）≤x2+2x，即a≤
x2+2x
x+lnx
，x∈[2，e]，令g（x）=
x2+2x
x+lnx
，x∈[2，e]，g（x）的最小值為g（2）=
8
2+ln2
，由此能求出a的取值范圍是（-∞，
8
2+ln2
）．
解答： 解：（Ⅰ）a=4時，f（x）=x2-4lnx，
∴f（x）的定義域為x＞0，
f′(x)=2x-
4
x
，
由f′(x)=2x-
4
x
=0，得x=
2
，或x=-
2
（舍），
∵f（1）=1-4ln1=1，
f（
2
）=1-4ln
2
=1-2ln2，
f（e）=1-4lne=-3，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為-3，相應(yīng)的x的值為e．
（Ⅱ）f（x）≥（a-2）x等價于a（x+lnx）≤x2+2x，
∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，
∴a≤
x2+2x
x+lnx
，x∈[2，e]，
令g（x）=
x2+2x
x+lnx
，x∈[2，e]，
g′(x)=
x2-x-2+(2x+2)lnx
(x+lnx)2
=
(x+1)(x-2+2lnx)
(x+lnx)2
，
當(dāng)x∈[2，e]時，x+1＞0，lnx≤1，x-2+2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時取等號），所g（x）在[2，e]上為增函數(shù)，
故g（x）的最小值為g（2）=
8
2+ln2
，所以a的取值范圍是（-∞，
8
2+ln2
）．
點評：本題考查函數(shù)的最小值及相應(yīng)的x的值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=2-Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并寫出其通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+
3
x-2
，x∈[3，7]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=1+
1
x
．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=（
1
2
）ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點（-1，2）
（1）求a的值
（2）求f（x）的反函數(shù)h（x）；
（3）若g（x）=4-x-2且g（x）=f（x），求滿足條件的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
a
2
x2+bx+1．
（Ⅰ）（�。┤鬮=2時，f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）若對任意a∈[1，+∞），存在x∈（2，3），使得f（x）＞0，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x1，x2（x1＜x2），存在實數(shù)n，有n＜x1＜x2＜n+1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．求證：max{min{f′（n），f′（n+1）}，
1
4
}=
1
4
．（其中min{a，b}指a，b中的最小值，max{a，b}指a，b中的最大值）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，c所對的邊分別為a，b，c且acosC-
1
2
c=b．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=1，△ABC的周長用角B表示并求周長取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：
xx1
1
3
x2
7
3
x3
ωx+φ0
π
2
π
3π
2
2π
Asin（ωx+φ）0
3
0-
3
0
（Ⅰ）請求出上表中的x1，x2，x3，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移
2
3
個單位得到函數(shù)g（x），若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域為[-
3
，
3
]，且此時其圖象的最高點和最低點分別為P、Q，求
OQ
與
QP
夾角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在下面表格中的n行n列空格內(nèi)，第1行均已填上1，第1列依次填入首項為1，公比為q的等比數(shù)列的前n項，其他各空格均按照“任意一格內(nèi)的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左面一格數(shù)之和”的規(guī)則填寫．
第1列第2列第3列…第n列
第1行111…1
第2行q
第3行q2
……
第n行qn-1
（Ⅰ）設(shè)第2行的數(shù)依次為a1，a2，a3，…，an，試用n，q，表示a1+a2+a3+a4+…+an的值；
（Ⅱ）是否存在著q，使得除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列？若存在，請求出q的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)第3列的數(shù)依次為b1，b2，b3，…，bn，對于任意非零實數(shù)q，求證：b1+b3＞2b2．

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