Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并寫出其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁，=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

4

，a₄=

1

8

，于是可猜想a_n=(

1

2

)n-1（n∈N^* ）；
（Ⅱ）由于b_n=na_n=n(

1

2

)n-1，設(shè)S_n是數(shù)列數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法即可求得S_n=4-

n+2

2n-1

．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁，=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

4

，a₄=

1

8

，
猜想a_n=(

1

2

)n-1（n∈N^* ）…（4分）
（Ⅱ）b_n=na_n=n(

1

2

)n-1，
設(shè)S_n是數(shù)列數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，
S_n=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+（n-1）×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1，①

1

2

S_n=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+…+（n-1）×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n，②
①-②得，

1

2

S_n=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n
=2-

n+2

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算與猜想的能力，著重考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．