Question

已知g（x）=-x²-4，f（x）為二次函數(shù)，滿足f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，且f（x）在[-1，2]上的最大值為7，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)出函數(shù)的解析式，由f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，可得二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論f（x）在[-1，2]上的最大值為7時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)的取值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）為二次函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=（ax²+bx+c）+（-x²-4）+（ax²-bx+c）+（-x²-4）=（2a-2）x²+2c-8=0
即

2a-2=0 2c-8=0

解得：

a=1 c=4

∴f（x）=x²+bx+4，
∵f（x）的圖象是開(kāi)口朝上且以直線x=-

b

2

為對(duì)稱軸的拋物線
故當(dāng)-

b

2

≤

1

2

，即b≥-1時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（2）=2b+8=7，解得b=-

1

2

故當(dāng)-

b

2

≥

1

2

，即b≤-1時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（-1）=-b+5=7，解得b=-2，
∴f（x）=x²-

1

2

x+4或f（x）=x²-2x+4，
故答案為：x²-

1

2

x+4或x²-2x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握選定系數(shù)法的步驟和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．