Question

已知（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N^*，且2≤n≤7，則n=

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：要想使已知展開式中沒有常數(shù)項，需（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中無常數(shù)項、x^-1項、x^-2項，利用（x+

1

x3

）ⁿ的通項公式討論即可．

解答： 解：設(shè)（x+

1

x3

）ⁿ的通項公式為 T_r+1，則 T_r+1=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤7，
當(dāng)n=2時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項，故n≠2；
當(dāng)n=3時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項，故n≠3；
當(dāng)n=4時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項，故n≠4；
當(dāng)n=5時，r=0、1、2、3、4、5時，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中都沒有常數(shù)項，
故n=5滿足題意；
當(dāng)n=6時，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項，故n≠6；
當(dāng)n=7時，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數(shù)項，故n≠7．
綜上所述，n=5時，滿足題意．
故答案為：5．

點評：本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，突出考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．