【題目】若過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線恰有兩條,則的最小值為__________
【答案】
【解析】
求出f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)),求得切線的方程,代入切點(diǎn),整理化簡(jiǎn)可得2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.令u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,求出導(dǎo)數(shù),求得極值點(diǎn),令其中一個(gè)極值為0,可得3a+b=1,運(yùn)用乘1法和基本不等式,計(jì)算即可得到所求最小值.
f′(x)=3x2﹣6x,
過(guò)點(diǎn)P(a,b)作曲線的切線,
設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)),則切線方程為:y﹣b=(3x02﹣6x0)(x﹣a),
將(x0,f(x0))代入得:f(x0)=(3x02﹣6x0)(x0﹣a)+b=x03﹣3x02,
即2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)
由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.
令u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,u′(x)=6x2﹣(6+6a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),
可得u(1)=0或u(a)=0,
即有3a+b=1或b=a3﹣3a2(舍去),
則=(3a+b)()=4++≥4+2=4+2,
當(dāng)且僅當(dāng)b=a=時(shí),取得等號(hào).
即有的最小值為4+2,
故答案為:4+2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生假期參與志愿服務(wù)活動(dòng)的情況,隨機(jī)調(diào)查了名男生,名女生,得到他們一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如右表(單位:人):
超過(guò)小時(shí) | 不超過(guò)小時(shí) | |
男 | ||
女 |
(1)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間是否超過(guò)小時(shí)與性別有關(guān)?
(2)以這名學(xué)生參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間超過(guò)小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽查名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生中一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間超過(guò)小時(shí)的人數(shù).
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購(gòu) | 偶爾或不用網(wǎng)購(gòu) | 合計(jì) | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計(jì) |
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;
②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求與的值;
(2)設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),問(wèn):在軸上是否存在與的取值無(wú)關(guān)的定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若存在最大值,證明:;
(2)函數(shù),且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x﹣a)2+4.
(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,記函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,(其中),求的最大值.
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