Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，記函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，（其中），求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意題中函數(shù)定義域是，因此對(duì)二次三項(xiàng)式分類情況為第一類：或，第二類且．

（2）與極值點(diǎn)有關(guān)的問題，不是直接代入極值點(diǎn)，而是用表示極值點(diǎn)，由是方程的解，得，..不妨設(shè)，引入變量，則，就轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，由求得的范圍，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得所求最大值．

（1）.

令，則.

①當(dāng)或，即時(shí)，得恒成立，

∴在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，

由，得或；

由，得.

∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，有兩極值點(diǎn)，（其中）.

則，為的兩根，

∴，.

.

令，

則.

由，得，

即，解得.

∵，

∴在上單調(diào)遞減，

∴.

即的最大值為.