【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)確定y=f(x)和y=g(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若對(duì)于任意x∈[-5,-1],都有f(1-x)+f(1-2x)>0成立,求x的取值范圍.
【答案】(1)f(x)=,g(x)=2x;(2)見解析;(3)[2,3].
【解析】
(1)由題意可設(shè),代入條件可得函數(shù)解析式,從而得f(x);
(2)任取x1,x2∈R,x1<x2,化簡(jiǎn)f(x1)-f(x2)與0比較大小即可得單調(diào)性;
(3)由函數(shù)為奇函數(shù)可得f(1-x)>f(2x-1),,結(jié)合單調(diào)性和定義域可得,從而得解.
(1)設(shè),
∵g(3)=a3=8,∴a=2,∴g(x)=2x,
∴f(x)=,
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-1)+f(1)=0,即,解得m=2.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=2時(shí),f(x)=為奇函數(shù),
∴f(x)=;
(2)任取x1,x2∈R,x1<x2,
則f(x1)-f(x2)==.
∵x1<x2,
∴2x2-2x1>0,
又∵1+2x1>0,1+2x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)是定義在R上的減函數(shù);
(3)∵f(1-x)+f(1-2x)>0,且f(x)為奇函數(shù),
∴f(1-x)>f(2x-1),
∴,
解得2≤x≤3,
∴x的取值范圍是[2,3].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的定義域A;
(2)設(shè)B={x|﹣1<x<2},當(dāng)實(shí)數(shù)a、b∈(B∩RA)時(shí),證明: |.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C: (a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1: (t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sinθ,曲線C3:ρ=2 cosθ.
(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)若C2與C1相交于點(diǎn)A,C3與C1相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,PA⊥底面ABCD,E是棱PD上異于P,D的動(dòng)點(diǎn).設(shè) =m,則“0<m<2”是三棱錐C﹣ABE的體積不小于1的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知c=6,sinA﹣sinC=sin(A﹣B).若1≤a≤6,則sinC的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且對(duì)任意,當(dāng)時(shí),都有.
(1)若,試比較與的大小關(guān)系;
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,4]上的最大值為9,最小值為1,記f(x)=g(|x|)。
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若不等式f(2k)>1成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)定義在[p,q]上的函數(shù)(x),設(shè)p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q,x1,x2,…,xn-l將區(qū)間[p,q]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間,如果存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得和式恒成立,則稱函數(shù)(x)為在[p,q]上的有界變差函數(shù)。試判斷函數(shù)f(x)是否為在[0,4]上的有界變差函數(shù)?若是,求M的最小值;若不是,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|7﹣6x≤0},集合B={x|y=lg(x+2)},則(UA)∩B等于( )
A.(﹣2, )
B.( ,+∞)
C.[﹣2, )
D.(﹣2,﹣ )
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