Question

13．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A=$\frac{π}{6}$，a=bcosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）如圖，在△ABC的外角∠ACD內(nèi)取一點P，使PC=2，過點P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，設(shè)線段PM，PN的長分別為m，n，∠PCM=x，且$\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{2}$，求f（x）=mn的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用正弦定理把a=bcosC化為sinA=sinBcosC，再用三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換，求出C的值；
（Ⅱ）根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，求出m、n，寫出f（x）的解析式，利用三角函數(shù)求出f（x）的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，A=$\frac{π}{6}$，a=bcosC，
∴sinA=sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，
∴cosBsinC=0；
又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，
∴B=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，PC=2，
且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，$\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{2}$；
∴m=2sinx，n=2sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴f（x）=mn
=4sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）
=4sinx（sin$\frac{2π}{3}$cosx-cos$\frac{2π}{3}$sinx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+（1-cos2x）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
∵$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜2x＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）≤2+1=3，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值3．

點評 本題考查了三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．