Question

2．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）有相同的交點F₁，F(xiàn)₂，且橢圓C₁與雙曲線C₂在第一象限的交點為P，若2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²（O為坐標原點），則雙曲線C₂的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 利用2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，確定P的橫坐標為x₀=$\frac{c}{2}$，再得出e₁e₂=2，即可得出結(jié)論．

解答 解：因為2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，
所以2|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$||$\overrightarrow{OP}$|cos∠POF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$^|2，
所以2|$\overrightarrow{OP}$|cos∠POF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$^|，
所以P在OF₂中的射影為OF₂的中點，
所以P的橫坐標為x₀=$\frac{c}{2}$，
因為|PF₂|=a₁-ex₀=e₂x₀-a₂，
所以x₀=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{e}_{1}+{e}_{2}}$=$\frac{c}{2}$，
所以2（a₁+a₂）=c（e₁+e₂），
所以a₁a₂=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
所以e₁e₂=2，
所以e₂=$\frac{2}{{e}_{1}}$，
因為e₁∈（0，1），
所以e₂∈（2，+∞），
故選：B．

點評 本題考查向量知識的運用，考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．