Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦點(diǎn)為F點(diǎn)Q是拋物線C上的一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離為5．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，QA，QB的斜率分別為K1，K2，若K1K2＝﹣2，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）見(jiàn)解析，定點(diǎn)（6，﹣4）

【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)的坐標(biāo)，由題意可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的方程與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線，的斜率之積，由題意可得參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，注意直線不過(guò)，所以求出符合題意的定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）由題意，，直線方程為，由拋物線的性質(zhì)，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

由題意可得，解得或8，由題意可得，

所以拋物線的方程為：；

（2）由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，整理可得，

則，①

由（1）可得可得，

即，

即，

整理可得，

將①代入可得：，即，

所以，或，

即，或，

所以直線的方程為：，即恒過(guò)，

或者即恒過(guò)，

而由題意可得直線不過(guò)，

可證得直線 恒過(guò)定點(diǎn)．