直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).

（1）求證：直線AB1⊥平面A1BD.
（2）求二面角A-A1D-B正弦值的大小.

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角A-A1D-B正弦值為.

解析試題分析：（1）建立如下圖的空間坐標(biāo)系，要證直線AB1⊥平面A1BD，只需證明
即可.（2）先求出平面A1AD的一個(gè)法向量，再用向量夾角公式求二面角A-A1D-B正弦值.
試題解析：(1)取BC中點(diǎn)O，連接AO,
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，
∵直棱柱ABC-A1B1C1,∴平面ABC⊥平面BCC1B1且相交于BC,
∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點(diǎn)O1,則OO1∥BB1,∴OO1⊥BC.
以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A1(0,2,)A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),
∴

∴直線AB1⊥平面A1BD.             6分
(2)設(shè)平面A1AD的一個(gè)法向量為
n=(x,y,z).
∵
∴令z=1得n=(-,0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.
由(1)知為平面A1BD的法向量.
∴
∴二面角A-A1D-B正弦值的大小為.   12分
考點(diǎn)：空間向量、直線與平面的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長(zhǎng)線交于M,RQ,DB的延長(zhǎng)線交于N,RP,DC的延長(zhǎng)線交于K,

求證:M,N,K三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)．

(1)證明：BD⊥EC1；
(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，為直角三角形，，且.

（1）證明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四邊形與都是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平面

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐A—BDE的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿邊折至位置，且平面平面.

(1) 求證：平面平面；
(2) 求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°。

（1）求證：平面MAP⊥平面SAC。
（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,．

（Ⅰ)求證:平面平面；
（Ⅱ）若,求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上任一點(diǎn),是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

求證：(Ⅰ)若為線段中點(diǎn)，則∥平面；
(Ⅱ)無論在何處，都有.

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