Question

4．二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\root{3}{x}$）ⁿ展開(kāi)后有理項(xiàng)共33項(xiàng)，若n＜195，求n．

Answer 1

分析 根據(jù)通項(xiàng)公式可得當(dāng)x的冪指數(shù)為有理數(shù)時(shí)，r=3n；根據(jù)n＜195，可得r＜585．再由有理項(xiàng)共33項(xiàng)，求得r的最大值，從而得到n的值．

解答 解：二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\root{3}{x}$）ⁿ展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r${x}^{\frac{n}{2}-\frac{r}{6}}$，
令$\frac{n}{2}-\frac{r}{6}$為有理數(shù)，可得r=3n．
∵n＜195，∴r＜585．
∴r=0，3，6，9，12，…，96，共計(jì)33個(gè)．
故n=96．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．