Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱；②對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；③當(dāng)x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]時(shí)，f（x）=log₂（-3x+2），則f（2012）=-3．

Answer 1

分析 直接利用已知條件求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的解析式求解所求的表達(dá)式的值．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱；說明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
即f（x）=-f（-x）．
對?x∈R，對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；所以對?x∈R，對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）=-f（x-$\frac{3}{4}$）成立；可得f（3+x）=f（x），函數(shù)的周期為3，
∵當(dāng)x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]時(shí)，f（x）=log₂（-3x+2）．
∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[$\frac{7}{4}$，$\frac{5}{2}$]時(shí)，f（x）=-log₂（3x+2）．
∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=-log₂（3×2+2）=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用冪函數(shù)的奇偶數(shù)的判斷，函數(shù)的周期的考查與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．