Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且該橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】】試題分析： 由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得的值，由雙曲線的離心率公式求得其離心率，則，即可求得橢圓的半長(zhǎng)軸的值，則，即可求得半短軸，即可求得橢圓的方程；

⑵將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得，則，

，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，分類當(dāng)及當(dāng)時(shí)，由，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，即可求得的值

解析：（I）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以

雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率，

故橢圓的

所以橢圓方程為：

（II）由（I）知，且直線的斜率必存在，設(shè)斜率為，

則直線方程為： ，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

聯(lián)立方程，方程消去整理得：

兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程，由韋達(dá)定理得，

所以，

所以， 的坐標(biāo)為，

線段的中點(diǎn)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為

以下分兩種情況：

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為,線段的垂直平分線為軸，于是

時(shí)，線段的垂直平分線方程為

，令，解得

由

所以：