【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到曲線;以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知,設(shè)直線與曲線交于不同的、兩點(diǎn),求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)利用兩角差的正弦公式將直線的極坐標(biāo)方程變形為,由此可將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用伸縮變換可得出曲線的參數(shù)方程,消參后可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)可知點(diǎn)在直線上,且該直線的傾斜角為,可得出直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),然后將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立,得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理可求出.
(1)直線的極坐標(biāo)方程為,化簡得,
化為直角坐標(biāo)方程為.
將曲線(為參數(shù))上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到曲線,則曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
消參后得,
因此,曲線的直角坐標(biāo)方程為;
(2)由題意知在直線上,又直線的傾斜角為,
所以直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)分別為、,
將直線的參數(shù)方程代入中,得.
因?yàn)?/span>在內(nèi),所以恒成立,由韋達(dá)定理得,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校將一次測試中高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表所示,在參加測試的學(xué)生中任取1人,其成績不低于120分的概率為.
分?jǐn)?shù) | |||||||
頻數(shù) | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分層抽樣的方法從成績在、的學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行錯(cuò)題分析,求這2人中至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;
(2)若只有一個(gè)極值點(diǎn).
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐D-ABC中,,E,F分別為DB,AB的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力,對其中一臺生產(chǎn)設(shè)備提出了甲、乙兩個(gè)改進(jìn)方案:甲方案是引進(jìn)一臺新的生產(chǎn)設(shè)備,需一次性投資1000萬元,年生產(chǎn)能力為30萬件;乙方案是將原來的設(shè)備進(jìn)行升級改造,需一次性投入700萬元,年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示,無論是引進(jìn)新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備,設(shè)備的使用年限均為6年,該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件(不含一次性設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用).
(1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率,各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作年銷量的估計(jì)值,并假設(shè)每年的銷售量相互獨(dú)立.
①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)年銷售利潤不低于270萬元的概率:
②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù),試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個(gè)方案.(6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動,活動設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次,用表示活動推出的天數(shù),表示每天使用掃碼支付的人次,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程適合用來表示,求出該回歸方程,并預(yù)測活動推出第天使用掃碼支付的人次;
(2)推廣期結(jié)束后,商場對顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
支付方式 | 現(xiàn)金 | 會員卡 | 掃碼 |
比例 |
商場規(guī)定:使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠,使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠,掃碼支付的顧客隨機(jī)優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知,使用掃碼支付的顧客,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為.現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品,根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率,估計(jì)該顧客支付的平均費(fèi)用是多少?
參考數(shù)據(jù):設(shè),,,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2,證明:直線l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】3個(gè)紅球與3個(gè)黑球隨機(jī)排成一行,從左到右依次在球上標(biāo)記1,2,3,4,5,6,則紅球上的數(shù)字之和小于黑球上的數(shù)字之和的概率為( )
A.B.
C.D.
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