Question

【題目】已知函數(shù).

(I）若函數(shù)在處的切線方程為，求和的值;

(II)討論方程的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：(I）求出 ，結(jié)合已知得到 ，據(jù)此可求出 的值；(II) 和 ，討論求解，即可得到方程 的解的個(gè)數(shù)，注意利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

試題解析：（I）因?yàn)?/span>，

又在處的切線方程為，

所以，

解得.

（II）當(dāng)時(shí)， 在定義域內(nèi)恒大于，此時(shí)方程無解.

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)恒成立，

所以的定義域內(nèi)為增函數(shù).

因?yàn)?/span>，

所以方程有唯一解.

當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ，

在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，

在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，

取得最小值.

當(dāng)時(shí)， ，無方程解；

當(dāng)時(shí)， ，方程有唯一解.

當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>，且，

所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，

當(dāng)時(shí)，

設(shè)，

所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

又，所以，即，

故.

因?yàn)?/span>，

所以.

所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，

所以方程在區(qū)間內(nèi)有兩解，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程無解，

當(dāng)，或時(shí)，方程有唯一解，

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解.